C语言使用DP动态规划思想解最大K乘积与乘积最大问题

来源：本站原创|时间：2020-01-10|栏目：C语言|点击：次

最大K乘积问题
设I是一个n位十进制整数。如果将I划分为k段，则可得到k个整数。这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。试设计一个算法，对于给定的I和k，求出I的最大k乘积。
编程任务：
对于给定的I 和k，编程计算I 的最大k 乘积。
需求输入：
输入的第1 行中有2个正整数n和k。正整数n是序列的长度；正整数k是分割的段数。接下来的一行中是一个n位十进制整数。（n<=10）
需求输出：
计算出的最大k乘积。

解题思路：DP
设w(h,k) 表示: 从第1位到第K位所组成的十进制数,设m(i,j)表示前i位(1-i)分成j段所得的最大乘积,则可得到如下经典的DP方程：

if(j==1) m(i,j) = w(1,i) ;
if(j >=1 && j<=i) m(i,j) = max{m(d,j-1)*m(d+1,i)}

其中： 1<=d< i (即从1开始一直到i-1 中找最大值

else if(i < j) m(i,j) = 0 ;

代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10

long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/
long w[MAXN][MAXN]={{0,0}} ;
 
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
  int i,j,d,h,q,t,s;
  long temp,max;
  for(i=1; i<= n ; i++) /*分成1段*/
  m[i][1] = w[1][i];
  
 
 
  for(i=1 ; i<= n ; i++) /* DP 过程*/
  for(j=2; j<= k ; j++)
  {
    max = 0;
 
    for(d=1; d < i ; d++)
    if ( (temp = m[d][j-1]*w[d+1][i]) > max)
      max = temp ;
    m[i][j] = max ;
    
    
  }
  
}
      
int main(void)
{
 int n,k,i,j;
 int a[MAXN]={0},la=0;
 char c ;
 scanf("%d %d ",&n,&k);
 
 while ( ( c=getchar() )!=' ') /*读入数据*/
 {
   a[++la] = c-'0' ;
 }
 
 for(i=1 ; i<= n; i++)
 {
   w[i][i]= a[i] ;
   for(j=i+1 ; j<= n; j++)
   w[i][j] = w[i][j-1]*10 + a[j] ;
 }
 
 /*
 for(i=1 ; i<= n; i++)
 {
   for(j=1 ; j<= n; j++)
   printf("%d ",w[i][j]);
   printf(" ");
 }
 */
 
 maxdp(n,k,a) ;

 
 printf("%ld ",m[n][k]) ;
 
 /*system("pause");*/
 
 return 0;
}

乘积最大问题：

（和最大k乘积问题差不多，都是用DP，不过有些细节要注意一下，比如：位数小于乘号，则为0)

描述 Description
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
设有一个长度N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串: 312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：
（1）3*12=36
（2）31*2=62
这时，符合题目要求的结果是： 31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
输入格式 Input Format
程序的输入共有两行：
1.第一行共有2个自然数N，K (6<=N<=40，1<=K<=6)
2.第二行是一个K度为N的数字串。

输出格式 Output Format
屏幕输出(结果显示在屏幕上)，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

解法：典型的DP问题
设w(h,q)表示从h位开始的q位数字组合所成的十进制数,m(i,j)表示前i位数字串所得的最大j乘积,初始值为：

m(i,0) = w(1,q) ;

动规方程如下所示：

if (j==0) m(i,j) = w(1,q) ;
else if(j>0)
m(i,j) = max { m(d,j-1)*w(d+1,i-d) }

ps: 其中 1 <= d < i

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10

long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/

long my_10_pow(int t)
{
  long sum=1 ;
  int y;
  for(y=1 ; y<= t ; y++)
  sum *= 10 ;
  
  return sum ;
}

long w(int start,int len,int *a)/*把数字串转换成对应的十进制数*/
{
  long res = 0 ;
  int t,f;
  for(f=start,t=len-1;t >= 0 ; f++,t--)
  res += a[f]*my_10_pow(t) ;
  
  return res ;
}  
  
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
  int i,j,d,h,q,t,s;
  long temp,max;
  for(i=1; i<= n ; i++)
  m[i][0] = w(1,i,a) ;
  
 
 
  for(i=1 ; i<= n ; i++) /*DP 过程。。。。*/
  for(j=1; j<= k ; j++)
  {
    max = 0;
    if( i <= j) /*如果长度小于乘号的个数，则值为0*/
    m[i][j] = 0 ;
    else
    {
    
    for(d=1; d < i ; d++)
    if ( (temp = m[d][j-1]*w(d+1,i-d,a)) > max)
      max = temp ;
    m[i][j] = max ;
    }
    
  }
  
}
     
int main(void)
{
 int n,k,i,j;
 int a[MAXN]={0},la=0;
 char c ;
 scanf("%d %d ",&n,&k);
 
 while ( ( c=getchar() )!=' ') /*读入数据*/
 {
   a[++la] = c-'0' ;
 }
 
 maxdp(n,k,a) ;
 
 printf("max = %ld ",m[n][k]) ;
 
 system("pause");
 
 return 0;
}

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