C#递归算法之快速排序

上两片第归算法学习：

1）递归算法之分而治之策略
2）递归算法之归并排序

　　上一篇学习中介绍了了递归算法在排序中的一个应用：归并排序，在排序算法中还有一种算法用到了递归，那就是快速排序，快速排序也是一种利用了分而治之策略的算法，它由C.A.R发明，它依据中心元素的值，利用一系列递归调用将数据表划分成越来越小的子表。在每一步调用中，经过多次的交换，最终为中心元素找到最终的位置。与归并算法不同，快速排序是就地排序，而归并排序需要把元素在临时向量中拷贝，下面通过对以下向量进行排序来理解和加深快速排序算法的步骤：

v={800,150,300,650,550,500,400,350,450,400,900};

　　利用快速排序算法对此数据表进行排序的第0级划分过程如下： 向量v的索引范围为:[first,last) = [0,10),则中心点的索引为mid = (0+10)/2=5,中心点的值为v[5] = 500

　　快速排序算法的第一次划分的目的就是将向量v依据v[5]的值划分成两个子表subList1和subList2，其中subList1中的值都小于v[5],而subList2中的值都大于v[5],我们将subList1称为左子表，subList2称为右子表，并且确定v[5]的最终位置

下面就是实现这一目的需要我们作出的工作步骤：

1）首先将中心元素与起始位置的元素进行交换。

2）分别扫描左子表和右子表，左子表扫描起始位置为 first+1, 右子表从last-1开始。左子表从左向右扫描扫描，右子表从右向左扫描。直到左子表扫描位置大于或者等于右子表扫描位置时候结束。

在第一个步骤中，得到如下的数据表

500  150  300 650 550 800 400 350 450 400 

　　而此时的左子表扫描位置处于索引1处，右子表扫描位置处于索引9处，先从左子表扫描，直到找到数据值大于中间值500的位置停止扫描，然后扫描右子表，直到找到数据值小于中间值500并且右子表的扫描位置（scanDown)要小于左子表开始位置，防止数据溢出。找到之后，交换左子表与右子表中中扫描位置的元素，图示如下：

在交换v[3](650>500)与v[8](450<500)后，继续扫描左子表和右子表，如图

　　直到满足条件scanUp>=scanDown，然后scanDown所在位置就是中心元素500的最终位置，交换v[0]与v[scanDown)=v[5],第一次划分级别的最终结果数据集为：400,150,300,450,350,500,800,550,650,900,此时得到的左子表为:400,150,300,450,350,右子表为:800,550,650,900

　　下一个划分级别是处理上一级别产生的子表，按照相同的处理方法分别处理左子表和右子表，左子表索引位置[0,5),右子表索引位置[6,10),按照上面的处理步骤处理左子表(400,150,300,450,350)得到的最终结果为:150,300,400,450,350 右子表最终处理结果为:550,650,800,900 在处理结果中300与650分别是中心值，他们现在的位置就是最终位置

　　在接下来的处理中，总是处理上一步骤中留下的子表，当子表数目<=1的时候就不用处理子表了，而子表有两个元素的时候，比较大小，然后交换两元素位置即可。

大于2个元素的子表都和上面的处理步骤一样，我们将上面的处理过程编写出一个函数

private int PivotIndex(int[] v, int first, int last)，那么快速排序算法就是对此函数的递归调用

/// <summary>
/// 交换位置
/// </summary>
/// <param name="v"></param>
/// <param name="index1"></param>
/// <param name="index2"></param>
private void Swrap(int[] v, int index1, int index2)
{
 int temp = v[index1];
 v[index1] = v[index2];
 v[index2] = temp;
}
/// <summary>
/// 将向量V中索引{first,last)划分成两个左子表和右子表
/// </summary>
/// <param name="v">向量V</param>
/// <param name="first">开始位置</param>
/// <param name="last">结束位置</param>
private int PivotIndex(int[] v, int first, int last)
{
 if (last == first)
 {
  return last;
 }
 if (last - first == 1)
 {
  return first;
 }
 int mid = (first + last) / 2;
 int midVal = v[mid];
 //交换v[first]和v[mid]
 Swrap(v, first, mid);
 int scanA = first + 1;
 int scanB = last - 1;
 for (; ; )
 { 

  while (scanA <= scanB && v[scanA] < midVal)
  {
   scanA++;
  }
  while (scanB > first && midVal <= v[scanB])
  {
   scanB--;
  }
  if (scanA >= scanB)
  {
   break;
  }
  Swrap(v, scanA, scanB);
  scanA++;
  scanB--;
 }
 Swrap(v, first, scanB);
 return scanB; 

}
public void Sort(int[] v, int first, int last)
{
 if (last - first <= 1)
 {
  return;
 }
 if (last - first == 2)
 {
  //有两个元素的子表
  if (v[first] > v[last - 1])
  {
   Swrap(v, first, last - 1);
  }
  return;
 }
 else
 {
  int pivotIndex = PivotIndex(v, first, last);
  Sort(v, first, pivotIndex);
  Sort(v, pivotIndex + 1, last);
 }
} 

　　快速排序因为每次划分都能将中心值元素找到最终的位置，并且左边值都小于中心值，右边都大于中心值，它的时间复杂度平均和归并算法一致为O(nlog2n);

　　任何一种基于比较的排序算法的时间复杂度不可能小于这个数，除非不使用比较的方法进行排序。

算法程序：http://xiazai.jb51.net/201606/yuanma/QuickSort(jb51.net).rar